2^(3х+2) - 2^(3х-2) = 30

Для того чтобы решить уравнение $2^{3x+2} - 2^{3x-2} = 30$, начнем с преобразования и упрощения выражений.

1. Перепишем степени, выделяя общий множитель:

   У нас есть два выражения с одинаковым основанием (2), но с разными показателями. Попробуем выделить общий множитель, используя свойства степеней.

   $$2^{3x+2} = 2^{3x} \cdot 2^2 = 4 \cdot 2^{3x}$$ $$2^{3x-2} = 2^{3x} \cdot 2^{-2} = \frac{1}{4} \cdot 2^{3x}$$

2. Подставим эти выражения в исходное уравнение:

   $$4 \cdot 2^{3x} - \frac{1}{4} \cdot 2^{3x} = 30$$

3. Вынесем $2^{3x}$ как общий множитель:

   $$2^{3x} \left( 4 - \frac{1}{4} \right) = 30$$

4. Упростим выражение в скобках:

   $$4 - \frac{1}{4} = \frac{16}{4} - \frac{1}{4} = \frac{15}{4}$$

   Тогда уравнение примет вид:

   $$2^{3x} \cdot \frac{15}{4} = 30$$

5. Умножим обе части уравнения на 4:

   $$2^{3x} \cdot 15 = 120$$

6. Разделим обе стороны на 15:

   $$2^{3x} = \frac{120}{15} = 8$$

7. Теперь видим, что $2^{3x} = 8$, а 8 можно записать как $2^3$, то есть:

   $$2^{3x} = 2^3$$

8. Так как основания равны, приравняем показатели степеней:

   $$3x = 3$$

9. Разделим обе части на 3:

   $$x = 1$$

Ответ: $x = 1$.