Сторона основания правильной треугольной пирамиды 6 см, а боковое ребро 4 см. найдите высоту пирамиды и апофему.

Для решения задачи найдем высоту пирамиды $h$ и апофему $l_a$ правильной треугольной пирамиды. Дадим пошаговое объяснение.

1. Параметры пирамиды

1. Сторона основания ($a$): $6$ см.
2. Боковое ребро ($l$): $4$ см.
3. Основание — правильный треугольник.

2. Поиск радиуса окружности, описанной вокруг основания

Для правильного треугольника сторона $a$ и радиус описанной окружности $R$ связаны формулой:

Подставим $a = 6$:

Это расстояние от центра основания $O$ до любой вершины треугольника.

3. Высота пирамиды ($h$)

Высота пирамиды $h$ соединяет вершину пирамиды с центром основания ($O$) и образует прямоугольный треугольник, где:

• $l = 4$ см — гипотенуза;
• $R = 2\sqrt{3}$ см — один из катетов.

По теореме Пифагора:

Подставим значения:

4. Апофема ($l_a$)

Апофема пирамиды — высота боковой грани, проведенная из её вершины к середине стороны основания.

1. Найдем половину стороны основания:

   $$\frac{a}{2} = \frac{6}{2} = 3 \, \text{см}.$$

2. В прямоугольном треугольнике, где апофема $l_a$ — гипотенуза, а катеты равны $h = 2 \, \text{см}$ и $\frac{a}{2} = 3 \, \text{см}$, по теореме Пифагора:

   $$l_a^2 = h^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2$$

   Подставим значения:

   $$l_a^2 = 2^2 + 3^2$$ $$l_a^2 = 4 + 9 = 13$$ $$l_a = \sqrt{13} \, \text{см}.$$

Ответ

1. Высота пирамиды: $h = 2 \, \text{см}$.
2. Апофема пирамиды: $l_a = \sqrt{13} \, \text{см}$.