Верно ли равенство: lg x^2 = 2lg x? И почему?

Равенство lg x² = 2lg x не всегда верно. Оно верно только при x > 0.

Разберёмся подробнее.

Логарифмические свойства

Существует стандартное свойство логарифма:

Применяя это свойство к десятичному логарифму (обозначается как lg) и выражению x², получаем:

Но это свойство работает только при x > 0, поскольку логарифм по определению определён только для положительных аргументов. То есть, выражение lg x существует только при x > 0.

Теперь рассмотрим обе части равенства:

• Левая часть: lg(x²)
  Существует при x ≠ 0, потому что x² > 0 при любом x ≠ 0.

• Правая часть: 2lg x
  Существует только при x > 0, поскольку lg x не определён при x ≤ 0.

Следовательно:

• При x > 0:
  Оба выражения определены, и равенство lg(x²) = 2lg x действительно выполняется.

• При x < 0:
  lg(x²) существует (так как x² > 0), но lg x не существует, поэтому правая часть равенства не определена. Значит, равенство не имеет смысла.

• При x = 0:
  Ни lg x, ни lg(x²) не определены, так как логарифм от нуля не существует.

Итог:

Равенство lg(x²) = 2lg x верно только при x > 0. Во всех остальных случаях оно либо не имеет смысла, либо выражения не определены.