Y=lnX/X

Функция $Y = \frac{\ln X}{X}$ представляет собой математическое выражение, где:

• $\ln X$ — это натуральный логарифм от $X$,

• $X$ — переменная, на которой зависит результат функции.

Чтобы анализировать поведение этой функции, важно обратить внимание на несколько ключевых аспектов.

Область определения функции:

Натуральный логарифм $\ln X$ определен только для $X > 0$. Следовательно, функция $Y = \frac{\ln X}{X}$ имеет область определения $X > 0$.

Пределы функции:

1. Когда $X \to 0^+$, то $\ln X \to -\infty$, а $X \to 0$, поэтому $\frac{\ln X}{X}$ стремится к $-\infty$.

2. Когда $X \to \infty$, то $\ln X$ растет медленно, а $X$ растет быстрее. Следовательно, $\frac{\ln X}{X} \to 0$ при $X \to \infty$.

Производная функции:

Чтобы понять, как функция изменяется, можно найти ее производную. Производная функции $Y = \frac{\ln X}{X}$ будет следующей:

Производная показывает, что функция возрастает, когда $\ln X < 1$, и убывает, когда $\ln X > 1$. Это дает информацию о точке экстремума функции.

Экстремум функции:

Чтобы найти экстремум, приравняем производную к нулю:

Таким образом, функция достигает максимума в точке $X = e$. Чтобы узнать, является ли это максимумом, можно проверить второй производной или исследовать знак первой производной.

Поведение функции:

• Для $X = e$ функция достигает максимума, и её значение в этой точке равно:

• Для $X \to 0^+$, функция уходит в $-\infty$.

• Для $X \to \infty$, функция стремится к нулю.

Таким образом, функция $Y = \frac{\ln X}{X}$ имеет максимум при $X = e$, значение которого $\frac{1}{e}$, и убывает как $X$ увеличивается или стремится к нулю.