1. Докажите тождество: (1-cos²t)/(1-sin²t) + tgt*ctgt = 1/cos²t 2. Известно, что sint = -15/17, π < t < 3π/2. Вычислите cost, tgt, ctgt.

Часть 1. Доказательство тождества

Тождество:

1. Начнем с левой части выражения:

1.1. Из тригонометрических идентичностей мы знаем, что:

и

Таким образом, первая дробь становится:

1.2. Вторая часть выражения, $\tan(t) \cdot \cot(t)$, сводится к:

Теперь наше выражение выглядит так:

1.3. Преобразуем $1$ в дробь с общим знаменателем:

Тогда выражение становится:

1.4. Из основного тригонометрического тождества знаем, что:

Таким образом, выражение упрощается до:

Таким образом, левая часть выражения равна правой, и тождество доказано.

Часть 2. Вычисление $\cos(t)$, $\tan(t)$, $\cot(t)$, если $\sin(t) = -\frac{15}{17}$ и $\pi < t < \frac{3\pi}{2}$

Известно, что $\sin(t) = -\frac{15}{17}$ и угол $t$ находится в третьей четверти (так как $\pi < t < \frac{3\pi}{2}$, где синус отрицателен, а косинус тоже отрицателен). Нужно найти значения $\cos(t)$, $\tan(t)$, и $\cot(t)$.

1. Для нахождения $\cos(t)$ используем основное тригонометрическое тождество:

Подставим значение $\sin(t) = -\frac{15}{17}$: