Что такое отрицательные числа?

Отрицательные числа — это числа, которые меньше нуля. Их записывают со знаком «минус»: −1, −2, −3, −10,5 и т.д. На координатной прямой они лежат слева от нуля. Формально, для любого положительного $a$ число $-a$ — это аддитивная противоположность к $a$: $a + (-a) = 0$.

Зачем они нужны в жизни

• температура ниже нуля: −5 °C;

• долги и дефициты: баланс −300 ₽;

• высоты ниже уровня моря: −430 м;

• перемещения «назад» относительно выбранной точки отсчёта.

Базовые свойства

• Ноль — не положительный и не отрицательный; он граница между ними.

• У любого числа $a$ есть противоположное $-a$. Противоположность противоположности возвращает исходное: $-(-a)=a$.

• Абсолютная величина (модуль) $|a|$ — расстояние до нуля: $|-7|=7$, $|3|=3$.

• Порядок «перевёрнут»: среди отрицательных «более левое» меньше. Например, $-7 < -3$, хотя 7 > 3 по модулю.

Арифметика со знаками

• Сложение:

  • $a + (-b) = a - b$.

  • $(-a) + (-b) = -(a + b)$.

• Вычитание:

  • $(-a) - b = -(a + b)$.

  • $(-a) - (-b) = -a + b$.

• Умножение и деление:

  • «Разные знаки — минус, одинаковые — плюс».

  • $(-a)\cdot b = -(ab)$, $(-a)\cdot(-b)=ab$.

  • $a/(-b)=-(a/b)$, $(-a)/(-b)=a/b$.

  • $(-1)\cdot a = -a$.

• При сравнении умножение/деление на отрицательное меняет знак неравенства: если $x$, то при умножении на $-1$ получаем $-x > -y$.

Частые ошибки и как их избежать

• Не путать знак числа с операцией вычитания: в выражении $5-(-2)$ два знака подряд дают «плюс»: $5-(-2)=5+2=7$.

• «Больше по модулю» не значит «больше как число»: $-12$ меньше $-5$, хотя $|-12|>|-5|$.

• Деление целых чисел с отрицательными результат может дать нецелое: $(-3)/2=-1{,}5$ (это уже рациональное, но не целое).

Связанные понятия

• Целые числа $\{\dots,-3,-2,-1,0,1,2,3,\dots\}$ включают отрицательные, ноль и положительные.

• Рациональные и вещественные числа тоже могут быть отрицательными (например, $-\tfrac{2}{3}$, $-\pi$).

Коротко: отрицательные числа — это «левая» от нуля часть числовой прямой, удобный и строгий способ записывать величины «ниже опорного уровня» и корректно выполнять с ними те же арифметические операции, что и с положительными, соблюдая правила знаков.