решить уравнение: а) корень из 4x^2-3x-1=x+1 б) корень из 3x+1-корень из x+8=1

а) Уравнение: $\sqrt{4x^2 - 3x - 1} = x + 1$

1. Сначала избавимся от корня. Для этого возведем обе стороны уравнения в квадрат:

   $$(\sqrt{4x^2 - 3x - 1})^2 = (x + 1)^2$$

   Получаем:

   $$4x^2 - 3x - 1 = (x + 1)^2$$

2. Раскроем квадрат правой части уравнения:

   $$4x^2 - 3x - 1 = x^2 + 2x + 1$$

3. Переносим все выражения на одну сторону:

   $$4x^2 - 3x - 1 - x^2 - 2x - 1 = 0$$

   Упростим:

   $$3x^2 - 5x - 2 = 0$$

4. Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта. Формула дискриминанта:

   $$D = b^2 - 4ac$$

   Где $a = 3$, $b = -5$, $c = -2$:

   $$D = (-5)^2 - 4(3)(-2) = 25 + 24 = 49$$

5. Теперь найдем корни уравнения:

   $$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$$

   Подставляем значения:

   $$x = \frac{-(-5) \pm \sqrt{49}}{2(3)} = \frac{5 \pm 7}{6}$$

   Получаем два корня:

   $$x_1 = \frac{5 + 7}{6} = \frac{12}{6} = 2, \quad x_2 = \frac{5 - 7}{6} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3}$$

6. Проверяем, подойдут ли эти корни к исходному уравнению, подставив их обратно в $\sqrt{4x^2 - 3x - 1} = x + 1$.

   • Для $x = 2$:

     $$\sqrt{4(2)^2 - 3(2) - 1} = \sqrt{16 - 6 - 1} = \sqrt{9} = 3$$

     И правая часть:

     $$x + 1 = 2 + 1 = 3$$

     Корень $x = 2\ подходит$.

   • Для $x = -\frac{1}{3}$:

     $$\sqrt{4\left(-\frac{1}{3}\right)^2 - 3\left(-\frac{1}{3}\right) - 1} = \sqrt{\frac{4}{9} + 1 - 1} = \sqrt{\frac{4}{9}} = \frac{2}{3}$$