Пожалуйста помогите решить задачу. В магазине были апельсины, всего меньше ста. Сначала их хотели разложить а упаковки, по 8 штук в каждую, но тогда бы осталось два лишних апельсина. Тогда продавец взял один апельсин для витрины, а остальные апельсины разложил в упаковки, по семь штук в каждой - и лишних апельсинов не осталось. Сколько апельсинов было сначала? Запишите решение и ответ.

Давайте решим задачу по шагам.

1. Обозначим количество апельсинов: Пусть количество апельсинов в магазине обозначим как $x$.

2. Условия задачи:

   • Если апельсины разложить по 8 штук в упаковке, то останется 2 апельсина. Это можно записать как: $$x \mod 8 = 2$$
   • Затем продавец убирает один апельсин для витрины, и количество апельсинов становится $x - 1$. Теперь, если апельсины разложить по 7 штук в упаковке, то не останется лишних. Это можно записать как: $$(x - 1) \mod 7 = 0$$

3. Запишем эти уравнения в числовом виде:

   • Из первого уравнения мы можем выразить $x$: $$x = 8k + 2 \quad (где \, k \, - \, целое \, число)$$
   • Второе уравнение указывает, что $x - 1$ делится на 7: $$(8k + 2 - 1) \mod 7 = 0 \Rightarrow (8k + 1) \mod 7 = 0$$

4. Упростим второе уравнение:

   • Заметим, что $8 \mod 7 = 1$, тогда $8k + 1 \mod 7$ можно упростить: $$(1k + 1) \mod 7 = 0 \Rightarrow k + 1 \equiv 0 \mod 7$$ Это означает, что $k \equiv -1 \mod 7$, что можно записать как: $$k = 7m - 1 \quad (где \, m \, - \, целое \, число)$$

5. Подставим $k$ в уравнение для $x$:

   • Подставим это значение $k$ обратно в уравнение для $x$: $$x = 8(7m - 1) + 2 = 56m - 8 + 2 = 56m - 6$$

6. Найдём подходящее $m$:

   • Мы знаем, что $x < 100$:

     $$56m - 6 < 100 \Rightarrow 56m < 106 \Rightarrow m < \frac{106}{56} \approx 1.89$$

     Следовательно, $m$ может принимать значения 0 или 1.

   • Если $m = 0$:

     $$x = 56 \cdot 0 - 6 = -6 \quad (неподходящее \, значение)$$

   • Если $m = 1$:

     $$x = 56 \cdot 1 - 6 = 50$$

7. Проверим полученное значение:

   • Проверим, удовлетворяет ли оно условиям задачи:
     • Если $x = 50$:
       • Разложим по 8: $50 \div 8 = 6$ упаковок, 6 × 8 = 48, остаётся 2.
       • Уберём один апельсин: $50 - 1 = 49$. Разложим по 7: $49 \div 7 = 7$ упаковок, без остатка.

Таким образом, количество апельсинов в магазине изначально было 50.