Tgx+3ctg=4 tgx=1/ctgx

Решим уравнение

учитывая тождество $\tan x=\frac1{\cot x}$.

Положим $t=\tan x$ (тогда $\cot x=\frac1t$, при этом $t\neq0$, потому что $\cot x$ должна быть определена). Подставляем:

Умножаем на $t$:

Решаем квадратное уравнение:

Возвращаемся к $x$:

1. $\tan x=1 \;\Rightarrow\; x=\frac{\pi}{4}+\pi k,\; k\in\mathbb{Z}.$

2. $\tan x=3 \;\Rightarrow\; x=\arctan 3+\pi k,\; k\in\mathbb{Z}.$

Ограничения области определения ($\sin x\neq0$ и $\cos x\neq0$) соблюдены для обоих семейств решений. Итоговый ответ: