Решите уравнение: sinx * tgx = cosx + tgx

Решим уравнение:

Шаг 1: Выразим всё через синус и косинус

Вспомним, что:

Подставим в уравнение:

Упростим левую часть:

Приведем правую часть к общему знаменателю:

Теперь у нас одинаковый знаменатель в обеих частях, можем приравнять числители:

Шаг 2: Переносим всё в одну часть

Вспомним основное тригонометрическое тождество:

Подставим:

Раскроем скобки:

Сложим подобные:

Шаг 3: Решим квадратное уравнение

Обозначим $y = \sin x$, получаем:

Решим по формуле:

Получаем два корня:

1. $y = \frac{1 + 3}{4} = 1$

2. $y = \frac{1 - 3}{4} = -\frac{1}{2}$

Шаг 4: Найдём $x$

1) $\sin x = 1$

Но важно проверить область определения исходного уравнения. Там есть тангенс: $\tan x$ не определён при $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$. Значит, $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$ не подходит, потому что $\tan x$ не существует при этом значении.

2) $\sin x = -\frac{1}{2}$