Найти область значения функции : y = 2 x2 - 8x (два икс в квадрате минус восемь икс)

Для нахождения области значений функции $y = 2x^2 - 8x$, нужно понять, какие значения $y$ могут принимать при разных значениях $x$.

1. Перепишем функцию в более удобной форме:

   $$y = 2x^2 - 8x$$

   Попробуем упростить это выражение, выделив полный квадрат. Для этого нужно добавить и вычесть нужное число.

2. Преобразуем выражение:
   Вынесем общий множитель 2 за скобки:

   $$y = 2(x^2 - 4x)$$

   Теперь, чтобы завершить квадрат, нужно добавить и вычесть 4 внутри скобок, так как $\left( \frac{-4}{2} \right)^2 = 4$. Получаем:

   $$y = 2(x^2 - 4x + 4 - 4) = 2((x - 2)^2 - 4)$$

   Раскроем скобки:

   $$y = 2(x - 2)^2 - 8$$

3. Анализируем область значений:
   Выражение $(x - 2)^2$ всегда неотрицательное, то есть $(x - 2)^2 \geq 0$. Таким образом, минимальное значение выражения $(x - 2)^2$ равно 0, когда $x = 2$. Подставим это в выражение для $y$:

   $$y = 2(0) - 8 = -8$$

   Следовательно, минимальное значение функции равно -8. Поскольку $(x - 2)^2$ может быть любым неотрицательным числом, выражение $2(x - 2)^2$ может быть любым неотрицательным числом, а значит, $y$ может принимать значения от -8 и больше.

4. Область значений:
   Таким образом, область значений функции $y = 2x^2 - 8x$ — это все числа, больше или равные -8. В математической записи:

   $$\boxed{[-8, +\infty)}$$