Для расчёта выручки компании-монополиста за месяц (в тыс. руб.) используется формула \( r(p) = q \cdot p \), здесь \( p \) — цена (тыс. руб.), \( q \) — объём спроса (ед./мес.). При этом объём спроса зависит от цены и вычисляется по формуле \( q = 66 - 6p \). Найди наибольшую цену \( p \) (в тыс. руб.), при которой выручка за месяц будет не менее 168 тысяч рублей.

Найдём цену шаг за шагом.

Дано:

• Выручка (в тыс. руб.):

• Спрос:

Тогда:

Нужно: найти наибольшую цену $p$ (в тыс. руб.), при которой

(тыс. руб.).

1. Запишем выручку как функцию от $p$

Подставляем формулу спроса:

2. Составим неравенство

Требуется:

то есть:

Перенесём всё в одну сторону:

Умножим на $-1$, не забывая изменить знак неравенства:

Можно всё сократить на 6:

3. Решим квадратное неравенство

Сначала найдём корни квадратного уравнения:

Дискриминант:

Корни:

Отсюда:

• $p_1 = \frac{11 - 3}{2} = \frac{8}{2} = 4$

• $p_2 = \frac{11 + 3}{2} = \frac{14}{2} = 7$

Так как у нас парабола $p^2 - 11p + 28$ ветвями вверх, то неравенство

выполняется между корнями:

4. Учитываем смысл задачи

• $p$ — цена в тыс. руб., поэтому $p \ge 0$.

• Спрос $q = 66 - 6p$ не должен быть отрицательным, иначе смысла в модели спроса нет:

Это условие не сужает интервал, так как $4 \le p \le 7$ уже содержится в $p \le 11$.

5. Ответ на вопрос

Выручка будет не менее 168 тыс. руб. при ценах

Просят найти наибольшую цену $p$, при которой условие выполняется.

Наибольшая такая цена:

Ответ: $7$ тыс. руб.