Решите неравенство \(0,5x(10 - x) < 0\).

Для решения неравенства $0,5x(10 - x) < 0$, нужно выполнить несколько шагов.

1. Упростим выражение.

   Начнем с того, что можем умножить обе части неравенства на 2, чтобы избавиться от коэффициента $0,5$. Это не изменит знак неравенства, так как 2 — положительное число.

   $$0,5x(10 - x) < 0 \implies x(10 - x) < 0.$$

2. Решим соответствующее равенство.

   Для того чтобы понять, в каких интервалах выражение $x(10 - x)$ будет отрицательным, сначала решим уравнение $x(10 - x) = 0$:

   $$x(10 - x) = 0.$$

   Это уравнение разлагается на два множителя:

   $$x = 0 \quad \text{или} \quad 10 - x = 0 \implies x = 10.$$

   Таким образом, выражение $x(10 - x)$ обращается в ноль при $x = 0$ и $x = 10$.

3. Анализируем знак выражения на интервалах.

   У нас есть два корня: $x = 0$ и $x = 10$. Теперь разберемся, какой знак будет у выражения $x(10 - x)$ на каждом из интервалов, определенных этими корнями:

   • Интервал $x < 0$:
     При $x < 0$ оба множителя $x$ и $10 - x$ будут отрицательными, так как $10 - x$ будет положительным (10 больше любого отрицательного $x$), а $x$ — отрицательным. Произведение двух отрицательных чисел будет положительным. Таким образом, на интервале $x < 0$ выражение положительно.

   • Интервал $0 < x < 10$:
     При $0 < x < 10$ множитель $x$ положительный, а $10 - x$ также положительный. Произведение двух положительных чисел будет положительным. Таким образом, на интервале $0 < x < 10$ выражение также положительно.

   • Интервал $x > 10$:
     При $x > 10$ множитель $x$ положительный, а $10 - x$ отрицательный. Произведение положительного и отрицательного числа будет отрицательным. Таким образом, на интервале $x > 10$ выражение отрицательно.

4. Решаем неравенство.

   Нам нужно, чтобы произведение $x(10 - x)$ было отрицательным:

   $$x(10 - x) < 0.$$

   Мы установили, что выражение будет отрицательным на интервале $0 < x < 10$.

5. Ответ.

   Таким образом, решением неравенства $0,5x(10 - x) < 0$ является интервал:

   $$0 < x < 10.$$