Что такое частное целых чисел?

Коротко: частное целых чисел — это результат деления одного целого числа на другое. Но в теории чисел важно различать два смысла.

1. Как рациональное число.
   Если взять любые целые $a$ и $b\ne 0$, то «частным» можно назвать число $a/b$. Обычно это рациональное, не обязательно целое. Пример: $7/3 = 2\frac{1}{3}$.

2. Как частное в целочисленном делении (деление с остатком, евклидово деление).
   Для любых целых $a$ и $b\ne 0$ существуют единственные целые $q$ и $r$ такие, что

Здесь $q$ — это «частное» (целая часть результата деления), а $r$ — остаток.

Основные моменты про такое частное $q$:

• $q=\lfloor a/b\rfloor$, если $b>0$; и $q=\lceil a/b\rceil$, если $b<0$.

• Остаток всегда по модулю меньше делителя: $0\le r<|b|$.

• Если остаток ноль ($r=0$), то говорят, что $a$ делится на $b$, а частное $q=a/b$ — целое.

• Представление единственно: для заданных $a$ и $b$ есть ровно одна пара $q,r$, удовлетворяющая условиям.

Примеры:

• $17=5\cdot 3+2$. Частное $q=3$, остаток $r=2$.

• $-17=5\cdot(-4)+3$. Частное $q=-4$, остаток $r=3$ (остаток неотрицательный и меньше $5$).

• $18=6\cdot 3+0$. Частное $q=3$, остаток $r=0$ — делится без остатка.

Итого: если не оговорено иное, под «частным целых чисел» в школьной и вузовской арифметике обычно понимают именно целое частное $q$ из евклидового деления, то есть ту целую «сколько раз помещается» величина $b$ в $a$, с возможным остатком.