Вася выписал в тетрадь 30 различных целых чисел,каждое возвёл либо в квадрат , либо в куб и записал 30 результатов на доске.какое наимешее количество различных чисел могло оказаться на доске?

Для решения задачи нужно понять, сколько различных чисел может быть записано на доске, если Вася взял 30 различных целых чисел и возводил каждое из них либо в квадрат, либо в куб.

Пусть Вася выписал числа $x_1, x_2, \dots, x_{30}$. Для каждого числа $x_i$ он мог вычислить либо $x_i^2$, либо $x_i^3$. Нам нужно найти наименьшее количество различных чисел, которые могли оказаться на доске среди этих 30 чисел.

Понимание проблемы

Число может быть представлено как квадрат, куб или как оба числа одновременно (например, число может быть и квадратом, и кубом одновременно). Чтобы минимизировать количество различных чисел на доске, нам нужно найти числа, которые могут совпасть в обеих операциях.

Рассмотрим случаи, когда результат возведения числа в квадрат и в куб совпадает:

1. Если $x^2 = y^3$, то $x$ и $y$ должны быть степенями одного и того же числа. Это происходит, например, для чисел, которые являются степенями 6, потому что $x^2 = y^3$ при $x = y = k^6$, где $k$ — целое число.

   Например, если $x = 2^6 = 64$, то $64^2 = 2^{12}$ и $64^3 = 2^{18}$, что одинаково для степени 64.

Стратегия минимизации

Таким образом, для минимизации числа различных результатов на доске Вася должен выбрать такие числа, которые одновременно являются и квадратами, и кубами. Такими числами являются степени чисел вида $k^6$ (шестые степени).

Таким образом, Вася может минимизировать количество чисел на доске, выбрав для вычисления такие числа, которые при возведении в квадрат и в куб дают одинаковые результаты.

Ответ

Наименьшее количество различных чисел на доске будет равно 30, если Вася возьмёт 30 различных чисел, из которых половина будет возведена в квадрат, а другая половина в куб.