Докажите, что число 401 простое.

Чтобы доказать, что число 401 простое, достаточно показать, что у него нет делителей, кроме 1 и самого себя.

1) До каких делителей нужно проверять?

Если число составное, то у него есть делитель $d$, не превосходящий $\sqrt{n}$.
Значит, чтобы проверить простоту 401, достаточно проверить делимость на все простые числа $\le \sqrt{401}$.

Вычислим:

То есть нужно проверить делимость на простые числа:

2) Проверяем делимость

На 2: 401 — нечётное, значит не делится на 2.

На 3: сумма цифр $4+0+1=5$.
5 не делится на 3, значит 401 не делится на 3.

На 5: число не оканчивается на 0 или 5, значит не делится на 5.

На 7:
$7\cdot 57=399$, остаток $401-399=2$.
Значит, 401 не делится на 7.

На 11:
$11\cdot 36=396$, остаток $401-396=5$.
Значит, 401 не делится на 11.

На 13:
$13\cdot 30=390$, остаток $401-390=11$.
Значит, 401 не делится на 13.

На 17:
$17\cdot 23=391$, остаток $401-391=10$.
Значит, 401 не делится на 17.

На 19:
$19\cdot 21=399$, остаток $401-399=2$.
Значит, 401 не делится на 19.

3) Вывод

Мы проверили делимость 401 на все простые числа, не превосходящие $\sqrt{401}\approx 20{,}02$, и ни одно из них не делит 401.

Следовательно, у числа 401 нет делителей, кроме 1 и 401, значит число 401 — простое.