Дана функция y = 0.25x^4 - 2x^2. 1) Найти промежутки возрастания и убывания. 2) Найти точки экстремума. 3) Найти наибольшее и наименьшее значение на отрезке [-3; 1].

Решаю по шагам.

Функция: $y=\tfrac14 x^4-2x^2$.

1) Промежутки возрастания и убывания

Найдём производную:

Критические точки: $x=-2,\,0,\,2$.

Смотрим знак $y'$ на интервалах:

• $x\in(-\infty,-2)$: например $x=-3\Rightarrow y'<0$ — функция убывает.

• $x\in(-2,0)$: $x=-1\Rightarrow y'>0$ — возрастает.

• $x\in(0,2)$: $x=1\Rightarrow y'<0$ — убывает.

• $x\in(2,\infty)$: $x=3\Rightarrow y'>0$ — возрастает.

Итого:

• возрастает на $(-2,0)$ и $(2,\infty)$;

• убывает на $(-\infty,-2)$ и $(0,2)$.

2) Точки экстремума

По смене знака производной:

• при $x=-2$: $y'$ меняется «минус → плюс» ⇒ минимум;

• при $x=0$: $y'$ меняется «плюс → минус» ⇒ максимум;

• при $x=2$: $y'$ меняется «минус → плюс» ⇒ минимум.

Значения функции:

Экстремумы:

• минимумы в точках $(-2,\,-4)$ и $(2,\,-4)$;

• максимум в точке $(0,\,0)$.

3) Наибольшее и наименьшее значения на $[-3;1]$

Проверяем концы и критические точки, попавшие в отрезок ($-2$ и $0$):

Сравниваем: максимум $=2{,}25=\tfrac{9}{4}$ при $x=-3$; минимум $=-4$ при $x=-2$.

Ответ:

1. Возрастает на $(-2,0)$ и $(2,\infty)$; убывает на $(-\infty,-2)$ и $(0,2)$.

2. Минимумы: $(-2,-4)$