Дана функция f(x)=x^3-3x^2+1. а) Найти промежутки возрастания и убывания. б) Найти наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке [-2;1].

а) Чтобы найти промежутки возрастания и убывания функции $f(x) = x^3 - 3x^2 + 1$, сначала найдем её производную.

1. Найдем первую производную функции $f'(x)$:

2. Теперь решим неравенство $f'(x) > 0$ и $f'(x) < 0$, чтобы определить промежутки возрастания и убывания. Для этого сначала найдём критические точки, при которых производная равна нулю:

Решаем уравнение:

Таким образом, критические точки — это $x = 0$ и $x = 2$.

3. Теперь рассмотрим знаки производной на промежутках, которые делятся точками $x = 0$ и $x = 2$. Рассмотрим три промежутка: $(-\infty, 0)$, $(0, 2)$, и $(2, +\infty)$.

• Для $x \in (-\infty, 0)$: Подставляем, например, $x = -1$:

Следовательно, на промежутке $(-\infty, 0)$ функция возрастает.

• Для $x \in (0, 2)$: Подставляем, например, $x = 1$:

Следовательно, на промежутке $(0, 2)$ функция убывает.

• Для $x \in (2, +\infty)$: Подставляем, например, $x = 3$:

Следовательно, на промежутке $(2, +\infty)$ функция возрастает.

Итак, функция возрастает на промежутках $(-\infty, 0)$ и $(2, +\infty)$, а убывает на промежутке $(0, 2)$.

б) Теперь найдем наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке $[-2; 1]$.

Для этого нам нужно найти значения функции на концах отрезка, а также в критических точках, которые лежат внутри этого отрезка.

1. Проверим значение функции в точках $x = -2$, $x = 1$ и $x = 0$ (поскольку $x = 0$ — критическая точка):

• В точке $x = -2$:

• В точке $x = 1$:

• В точке $x = 0$:

Теперь, сравнив значения функции в этих точках, видим, что наибольшее значение функции на отрезке $[-2; 1]$ равно 1 в точке $x = 0$, а наименьшее значение равно -19 в точке $x = -2$.

Ответ: наибольшее значение функции на отрезке $[-2; 1]$ равно 1, а наименьшее — -19.