Срочно прошу вас! 1о. Дана функция у = x^4 – 2x^2 – 3. Найти: а) промежутки возрастания и убывания функции; б) точки экстремума;

Для функции $y = x^4 - 2x^2 - 3$ давайте последовательно решим все части вопроса.

а) Промежутки возрастания и убывания функции

Чтобы найти промежутки возрастания и убывания, нужно исследовать первую производную функции, которая показывает скорость изменения функции.

1. Находим первую производную функции:

2. Находим критические точки, приравняв первую производную к нулю:

Выносим общий множитель:

Решаем это уравнение:

Таким образом, критические точки — это $x = 0$, $x = 1$ и $x = -1$.

3. Теперь необходимо провести анализ знаков первой производной на промежутках, определённых критическими точками: $(-\infty, -1)$, $(-1, 0)$, $(0, 1)$ и $(1, +\infty)$.

Для этого подставим значения из этих промежутков в первую производную:

• Для $x \in (-\infty, -1)$, например, $x = -2$: $y' = 4(-2)^3 - 4(-2) = -32 + 8 = -24$, то есть функция убывает.

• Для $x \in (-1, 0)$, например, $x = -0.5$: $y' = 4(-0.5)^3 - 4(-0.5) = -1 + 2 = 1$, функция возрастает.

• Для $x \in (0, 1)$, например, $x = 0.5$: $y' = 4(0.5)^3 - 4(0.5) = 0.5 - 2 = -1.5$, функция убывает.

• Для $x \in (1, +\infty)$, например, $x = 2$: $y' = 4(2)^3 - 4(2) = 32 - 8 = 24$, функция возрастает.

Теперь мы можем записать промежутки возрастания и убывания:

• Функция возрастает на промежутках $(-1, 0)$ и $(1, +\infty)$.

• Функция убывает на промежутках $(-\infty, -1)$ и $(0, 1)$.

б) Точки экстремума

Точки экстремума — это точки, в которых первая производная меняет знак, то есть $x = -1$, $x = 0$, и $x = 1$.

1. Для $x = -1$:

   • На интервале $(-\infty, -1)$ производная отрицательна, а на интервале $(-1, 0)$ производная положительна.

   • Следовательно, в точке $x = -1$ минимум функции.

2. Для $x = 1$:

   • На интервале $(0, 1)$ производная отрицательна, а на интервале $(1, +\infty)$ производная положительна.

   • Следовательно, в точке $x = 1$ максимум функции.

3. Для $x = 0$:

   • На интервале $(-1, 0)$ производная положительна, а на интервале $(0, 1)$ производная отрицательна.

   • Следовательно, в точке $x = 0$ минимум функции.

Ответ:

а) Промежутки возрастания: $(-1, 0)$, $(1, +\infty)$.
Промежутки убывания: $(-\infty, -1)$, $(0, 1)$.
б) Точки экстремума: минимум в $x = -1$ и $x = 0$, максимум в $x = 1$.