Маленькое исследование функции y=x³-3x²+4. Надо найти промежутки возрастания и убывания, точки экстремума и сколько решений имеет при различных значениях а.

Для того чтобы исследовать функцию $y = x^3 - 3x^2 + 4$, нужно выполнить несколько шагов.

1. Найдем первую производную

Первая производная функции помогает найти промежутки возрастания и убывания, а также точки экстремума (когда производная равна нулю).

Для функции $y = x^3 - 3x^2 + 4$ первая производная будет:

Функция $y' = 3x^2 - 6x$ — это квадратичная функция.

2. Находим критические точки

Чтобы найти критические точки, при которых функция имеет экстремум (минимум или максимум), приравняем первую производную к нулю:

Вынесем $3x$ за скобки:

Таким образом, критические точки: $x = 0$ и $x = 2$.

3. Определим тип экстремума

Для этого вычислим вторую производную:

Теперь подставим в неё найденные критические точки:

• Для $x = 0$:

  $$y''(0) = 6(0) - 6 = -6$$

  Так как вторая производная отрицательна, это означает, что в точке $x = 0$ находится максимум.

• Для $x = 2$:

  $$y''(2) = 6(2) - 6 = 6$$

  Положительная вторая производная указывает на то, что в точке $x = 2$ находится минимум.

4. Промежутки возрастания и убывания

Для того чтобы определить промежутки возрастания и убывания функции, анализируем знак первой производной $y' = 3x(x - 2)$ на интервалах, разделённых критическими точками:

• На интервале $(-\infty, 0)$ подставляем точку, например, $x = -1$:

  $$y'(-1) = 3(-1)(-1 - 2) = 3(-1)(-3) = 9 > 0$$

  Здесь производная положительна, значит, функция возрастает.

• На интервале $(0, 2)$ подставляем точку, например, $x = 1$:

  $$y'(1) = 3(1)(1 - 2) = 3(1)(-1) = -3 < 0$$

  Здесь производная отрицательна, значит, функция убывает.

• На интервале $(2, \infty)$ подставляем точку, например, $x = 3$:

  $$y'(3) = 3(3)(3 - 2) = 3(3)(1) = 9 > 0$$

  Здесь производная положительна, значит, функция возрастает.

Итак, промежутки возрастания и убывания следующие:

• Функция возрастает на интервалах $(-\infty, 0)$ и $(2, \infty)$.

• Функция убывает на интервале $(0, 2)$.

5. Количество решений при различных значениях $a$

Теперь, если рассматривать уравнение $y = x^3 - 3x^2 + 4 = a$, то можно определить количество решений в зависимости от значения $a$.

Для этого нужно рассматривать график функции $y = x^3 - 3x^2 + 4$, который имеет одну точку максимума при $x = 0$ и одну точку минимума при $x = 2$.

• Если $a >$ максимум функции (то есть $a > 4$), то уравнение $y = a$ не имеет решений, потому что функция не пересекает горизонтальную прямую выше 4.

• Если $a = 4$, то есть одно решение: $x = 0$.

• Если $4 > a > -\infty$ (при этом $a \neq 4$), то у уравнения будет два решения, потому что кривая функции пересечет прямую дважды: один раз при $x \in (-\infty, 0)$ и один раз при $x \in (2, \infty)$.

• Если $a < -\infty$, то решений тоже не будет, так как гра