Y=x^3+3x^2-4 Найти промежутки Точки экстремума Наибольшее и меньшее значение функции (-4:1)

Для нахождения промежутков, точек экстремума и наибольшего и наименьшего значения функции $y = x^3 + 3x^2 - 4$ на интервале $(-4; 1)$, необходимо выполнить несколько шагов.

1. Найдем первую производную функции:
   Первая производная функции нужна для нахождения критических точек (точек экстремума). Производная функции $y$ по $x$ равна:

   $$y' = \frac{d}{dx}(x^3 + 3x^2 - 4) = 3x^2 + 6x$$

2. Найдем критические точки:
   Чтобы найти критические точки, приравняем первую производную к нулю:

   $$3x^2 + 6x = 0$$

   Вынесем общий множитель:

   $$3x(x + 2) = 0$$

   Таким образом, получаем два корня:

   $$x = 0 \quad \text{и} \quad x = -2$$

   Эти значения находятся внутри интервала $(-4; 1)$, так что они являются возможными точками экстремума.

3. Проверим, какие из этих точек экстремума (максимум или минимум):
   Для этого вычислим вторую производную функции:

   $$y'' = \frac{d}{dx}(3x^2 + 6x) = 6x + 6$$

   Теперь подставим в $y''$ значения критических точек:

   • Для $x = 0$:

     $$y''(0) = 6(0) + 6 = 6 \quad (\text{положительное значение, значит, точка минимум})$$

   • Для $x = -2$:

     $$y''(-2) = 6(-2) + 6 = -6 \quad (\text{отрицательное значение, значит, точка максимум})$$

   Следовательно, $x = 0$ — это точка минимума, а $x = -2$ — точка максимума.

4. Найдем значения функции в этих точках:

   • В точке $x = 0$:

     $$y(0) = 0^3 + 3(0)^2 - 4 = -4$$

   • В точке $x = -2$:

     $$y(-2) = (-2)^3 + 3(-2)^2 - 4 = -8 + 12 - 4 = 0$$

5. Найдем значения функции на границах интервала:

   • В точке $x = -4$:

     $$y(-4) = (-4)^3 + 3(-4)^2 - 4 = -64 + 48 - 4 = -20$$

   • В точке $x = 1$:

     $$y(1) = 1^3 + 3(1)^2 - 4 = 1 + 3 - 4 = 0$$

6. Подведем итоги:

   • Значение функции в точке $x = -4$ равно $-20$.

   • Значение функции в точке $x = -2$ равно $0$.

   • Значение функции в точке $x = 0$ равно $-4$.

   • Значение функции в точке $x = 1$ равно $0$.

   На интервале $(-4; 1)$ максимальное значение функции достигается в точках $x = -2$ и $x = 1$ (значение 0), а минимальное значение — в точке $x = -4$ (значение -20).

   Таким образом, наибольшее значение функции на интервале $(-4; 1)$ равно 0, а наименьшее — -20.