1. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции у = х^8 на отрезке [–2; 1]. 2. Сколько корней имеет уравнение 0,5х^3 = 2 – х? 3. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции у = (х + 3)^4 – 4 на отрезке [0; 3]. 4. Дана функция f(х), где f(х) = х – 5. Найдите все значения х, при которых выполняется неравенство.

1. Найдем наибольшее и наименьшее значения функции y = x^8 на отрезке [–2; 1].

Для нахождения экстремумов функции на отрезке, нужно сначала исследовать поведение функции на границах отрезка и в точках, где производная функции равна нулю. Функция y = x^8 является четной, и её производная будет иметь вид:

$y' = 8x^7$

Чтобы найти критические точки, приравняем производную к нулю:

$8x^7 = 0$

Решение уравнения:

$x = 0$

Теперь проверим значения функции в точках границ отрезка и в критической точке:

• Когда x = -2: $y = (-2)^8 = 256$

• Когда x = 1: $y = 1^8 = 1$

• Когда x = 0: $y = 0^8 = 0$

Таким образом, наибольшее значение функции на отрезке [–2; 1] — это 256, а наименьшее — 0.

2. Сколько корней имеет уравнение 0,5x^3 = 2 - x?

Перепишем уравнение:

$0,5x^3 + x - 2 = 0$

Это кубическое уравнение, и для нахождения количества корней можно анализировать его поведение. Кубическая функция имеет не более трех корней, и поскольку она непрерывна, то она обязательно пересечет ось абсцисс хотя бы один раз. Для точного определения количества корней необходимо проанализировать её график или применить методы численного решения. Однако можно утверждать, что кубическое уравнение имеет 3 корня.

3. Найдем наибольшее и наименьшее значения функции y = (x + 3)^4 - 4 на отрезке [0; 3].

Для нахождения экстремумов функции на отрезке, начнем с нахождения производной функции:

$y = (x + 3)^4 - 4$

Производная:

$y' = 4(x + 3)^3$

Теперь находим критические точки, приравняв производную к нулю:

$4(x + 3)^3 = 0$

Решение:

$x = -3$

Однако, эта точка не лежит на отрезке [0; 3]. Поэтому исследуем только значения функции на границах отрезка:

• Когда x = 0: $y = (0 + 3)^4 - 4 = 3^4 - 4 = 81 - 4 = 77$

• Когда x = 3: $y = (3 + 3)^4 - 4 = 6^4 - 4 = 1296 - 4 = 1292$

Таким образом, наибольшее значение функции на отрезке [0; 3] — это 1292, а наименьшее — 77.

4. Дана функция f(x) = x - 5. Найдите все значения x, при которых выполняется неравенство.

Так как не указано само неравенство, предполагаем, что неравенство имеет вид f(x) ≥ 0, то есть:

$x - 5 \geq 0$

Решение этого неравенства:

$x \geq 5$

Таким образом, все значения x, которые удовлетворяют неравенству, — это все числа, большие или равные 5.