Как решать уравнения вида ax² - c = 0?

Коротко: это квадратное уравнение без линейного члена. Решается в одну–две строки.

1. Переносим $c$ вправо и делим на $a$ (если $a\neq0$):

2. Дальше смотрим на знак $\frac{c}{a}$:

• Если $\frac{c}{a}>0$, то есть два вещественных корня:

  $$x=\pm\sqrt{\frac{c}{a}}.$$

• Если $\frac{c}{a}=0$ (то есть $c=0$), единственный корень:

  $$x=0.$$

• Если $\frac{c}{a}<0$, вещественных корней нет. В комплексных числах:

  $$x=\pm i\sqrt{\left|\frac{c}{a}\right|}.$$

Эквивалентно можно вынести множитель:

что приводит к тому же условию $x^2=\frac{c}{a}$.

3. Частные случаи:

• Если $a=0$, уравнение вырождается в $-c=0$.

  • При $c=0$ верно для любого $x$ (бесконечно много решений).

  • При $c\neq0$ решений нет.

4. Удобная памятка по знакам (для вещественных решений):

• $a>0$ → нужны $c\ge 0$.

• $a<0$ → нужны $c\le 0$.

5. Примеры:

• $5x^2-20=0 \Rightarrow x^2=4 \Rightarrow x=\pm2$.

• $-2x^2+8=0 \Rightarrow x^2=4 \Rightarrow x=\pm2$.

• $3x^2+12=0 \Rightarrow x^2=-4$ — вещественных решений нет (в комплексных $x=\pm2i$).

• $7x^2-0=0 \Rightarrow x=0$.

Проверка проста: подставьте найденные $x$ в исходное уравнение и убедитесь, что $ax^2-c=0$.