Решить уравнение (x-4)(x-5)(x-6)(x-7) = 1680

Чтобы решить уравнение $(x - 4)(x - 5)(x - 6)(x - 7) = 1680$, давайте сначала упростим его, используя метод группировки.

Шаг 1. Раскроем скобки.

Мы видим, что у нас произведение двух пар скобок. Для упрощения сначала раскроем каждую пару:

Теперь у нас есть выражение:

Шаг 2. Введем подстановку.

Чтобы упростить уравнение, введем новую переменную $y = x^2 - 11x$. Таким образом, уравнение примет вид:

Шаг 3. Раскроем скобки.

Теперь раскроем произведение:

Шаг 4. Упростим уравнение.

Теперь перенесем 1680 на левую сторону:

Шаг 5. Решим квадратное уравнение.

Для решения уравнения $y^2 + 58y - 840 = 0$ применим формулу для решения квадратных уравнений:

Здесь $a = 1$, $b = 58$, $c = -840$. Подставим эти значения в формулу:

Шаг 6. Найдем два возможных значения для $y$.

Теперь решим для двух случаев:

1. $y = \frac{-58 + 82}{2} = \frac{24}{2} = 12$

2. $y = \frac{-58 - 82}{2} = \frac{-140}{2} = -70$

Шаг 7. Вернемся к $x$.

Мы вспомнили, что $y = x^2 - 11x$, то есть нам нужно решить два уравнения:

1. $x^2 - 11x = 12$

2. $x^2 - 11x = -70$

Шаг 8. Решим каждое из уравнений.

1. Для $x^2 - 11x = 12$ получаем:

Решим это квадратное уравнение через дискриминант: