Наименьшее натуральное число, состоящее из единиц и нулей, которое делится на 225.

Разложим делитель:

Значит число должно делиться одновременно на $25$ и на $9$.

1) Условие делимости на 25

Число делится на $25$ тогда и только тогда, когда его последние две цифры — одна из: $00, 25, 50, 75$.

Но у нас разрешены только цифры $0$ и $1$. Из этих вариантов подходит только $00$.

Вывод: искомое число обязательно оканчивается на 00.

2) Условие делимости на 9

Число делится на $9$ тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на $9$.

Поскольку цифры только $0$ и $1$, сумма цифр равна просто количеству единиц в записи числа (нули на сумму не влияют).

Вывод: количество единиц должно быть кратно $9$, то есть минимум — 9 единиц (0 единиц нельзя, потому что натуральное число не может начинаться с 0 и должно быть > 0).

3) Делаем число наименьшим

Мы уже знаем, что последние две цифры — $00$. Значит все единицы находятся среди остальных цифр.

Чтобы единиц было 9, нужно как минимум 9 позиций под единицы до последних двух нулей. То есть длина числа должна быть не меньше:

При длине 11 первые 9 цифр (до “00”) обязаны содержать ровно 9 единиц. А значит они все должны быть единицами. Получаем единственный вариант:

Проверка:

• оканчивается на $00$ ⇒ делится на $25$;

• сумма цифр $=9$ ⇒ делится на $9$;

• значит делится на $225$.

Ответ: $\boxed{11111111100}$.