Какие случаи возможны при решении уравнения вида x² = a, где x — переменная, а — некоторое число?

При решении уравнения вида $x^2 = a$ (где $x$ — переменная, $a$ — некоторое число) возможны разные случаи в зависимости от того, каким является число $a$, и в какой области чисел мы ищем решения (обычно — в действительных числах).

1) $a>0$ (положительное число)

Если $a$ положительное, то уравнение имеет два действительных решения:

Это связано с тем, что квадрат числа не зависит от знака: $(\sqrt{a})^2=a$ и $(-\sqrt{a})^2=a$.

Пример: $x^2=9$ ⇒ $x=3$ или $x=-3$.

2) $a=0$

Если $a=0$, то уравнение имеет одно действительное решение:

потому что только ноль при возведении в квадрат даёт ноль.

Пример: $x^2=0$ ⇒ $x=0$.

3) $a<0$ (отрицательное число) — в действительных числах

Если $a$ отрицательное, то уравнение не имеет действительных решений, потому что квадрат любого действительного числа неотрицателен:

а значит не может получиться отрицательное число.

Пример: $x^2=-5$ — решений в $\mathbb{R}$ нет.

4) Если рассматривать комплексные числа (дополнительно)

Если решения ищутся в комплексных числах, то уравнение $x^2=a$ имеет решения при любом $a$.
В частности, при $a<0$ (например, $a=-b$, где $b>0$) будут два комплексных решения:

где $i^2=-1$.

Пример: $x^2=-9$ ⇒ $x=3i$ или $x=-3i$.

Итог для действительных чисел:

• при $a>0$ — 2 решения;

• при $a=0$ — 1 решение;

• при $a<0$ — нет решений.