1) Сколькими способами можно расставить пять книг на двух полках (учтите при этом случаи, когда одна из полок окажется пустой)? 2) Сколькими способами можно разложить четыре мяча в три корзины (учтите при этом случаи, когда одна из корзин окажется пустой)?

1. Для того чтобы расставить пять книг на двух полках, нужно учитывать два момента: книги можно распределить между полками, а также порядок книг на каждой полке имеет значение.

Каждая книга может оказаться на одной из двух полок, и для каждой из пяти книг есть два выбора: полка 1 или полка 2. То есть, для каждой книги количество вариантов составляет 2, и для пяти книг это будет:

Важно заметить, что одна из полок может остаться пустой, так как мы не ограничиваем количество книг на каждой полке. Таким образом, количество способов расставить книги на двух полках равно 32.

2. Для того чтобы разложить четыре мяча в три корзины, нужно учесть, что можно оставлять корзины пустыми, а также порядок мячей не важен, то есть это задача на распределение одинаковых объектов (мячей) по различным ячейкам (корзинам).

В данном случае, мы используем формулу для вычисления числа размещений одинаковых объектов в различные ячейки (с учётом пустых ячеек). Формула для количества таких способов: это задача с повторениями, и её решение выражается через формулу для сочетаний с повторениями:

где $n$ — количество мячей, а $k$ — количество корзин. Подставим значения: $n = 4$ (мячи) и $k = 3$ (корзины):

Таким образом, количество способов разложить четыре мяча в три корзины равно 15.