Найти все целые решения уравнения а) 5х+6у=18 б)ху=7-х

Рассмотрим оба уравнения поочередно.

а) Уравнение 5x + 6y = 18

Нам нужно найти все целые решения этого линейного уравнения.

Для этого выразим одно из переменных через другое. Пусть выразим $x$ через $y$:

Чтобы $x$ был целым числом, дробь $\frac{18 - 6y}{5}$ должна быть целым числом. Это значит, что числитель $18 - 6y$ должен быть кратен 5.

Рассмотрим $18 - 6y \equiv 0 \mod 5$. Переходим к модульной арифметике:

Преобразуем $6 \mod 5 = 1$:

Таким образом, $y$ должно быть числом, которое при делении на 5 дает остаток 3. То есть $y = 5k + 3$, где $k$ — целое число.

Теперь подставим это значение $y = 5k + 3$ в исходное уравнение:

Упростим:

Таким образом, все целые решения уравнения $5x + 6y = 18$ имеют вид:

где $k$ — целое число.

б) Уравнение xy = 7 - x

Рассмотрим это уравнение. Перепишем его:

Переносим все члены на одну сторону:

Теперь факторизуем:

Так как произведение $x(y + 1)$ равно 7, то $x$ и $y + 1$ должны быть делителями 7. Возможные целые делители 7 — это ±1 и ±7. Рассмотрим все случаи.

1. $x = 1$:

2. $x = -1$:

3. $x = 7$:

4. $x = -7$:

Таким образом, все целые решения уравнения $xy = 7 - x$ — это: