Из поселка в город, расстояние между которыми 72 км, выехал велосипедист. Спустя 15 минут из города ему навстречу выехал другой велосипедист, проезжающий в час на 2 км больше первого. Найдите скорость каждого велосипедиста, если известно, что встретились они в середине пути.

Рассмотрим задачу. Пусть скорость первого велосипедиста равна $v$ км/ч. Тогда скорость второго велосипедиста будет $v + 2$ км/ч, так как он на 2 км/ч быстрее.

Расстояние между поселком и городом — 72 км, и они встретились в середине пути, то есть на расстоянии 36 км от каждого пункта. Первый велосипедист проезжает это расстояние за время $t_1$, а второй — за время $t_2$.

Так как второй велосипедист выехал на 15 минут позже первого, это означает, что время, которое первый велосипедист проезжал до встречи, больше на 15 минут, чем время второго.

Переведем 15 минут в часы: $15 \, \text{мин} = \frac{15}{60} = \frac{1}{4} \, \text{ч}.$

Таким образом, время, которое первый велосипедист проезжает до встречи, равно времени, которое второй велосипедист проезжает, плюс $\frac{1}{4}$ часа:

Для первого велосипедиста, проезжающего 36 км, время можно выразить как:

Для второго велосипедиста, который тоже проезжает 36 км, время будет:

Теперь подставим выражение для $t_1$ и $t_2$ в основное уравнение:

Умножим обе стороны уравнения на 4, чтобы избавиться от дробей:

Теперь умножим все на $v(v + 2)$, чтобы избавиться от знаменателей:

Раскроем скобки:

Сократим $144v$ с обеих сторон:

Переносим все в одну сторону:

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта. Дискриминант равен:

Корни уравнения:

Получаем два возможных решения:

Так как скорость не может быть отрицательной, то скорость первого велосипедиста $v = 16$ км/ч.

Теперь находим скорость второго велосипедиста:

Ответ: скорость первого велосипедиста 16 км/ч, а скорость второго — 18 км/ч.