Докажите,что число Т является периодом функции f ,если : а)f(x)=sin x/2, T=4/ б)f(x)=2 tg 3x , T=п/3 в)f(x)=3 cos 4x, T=п/2 г)f(x)=ctg x/3, T=3п

Нужно показать, что $T$ — период функции $f$, то есть для всех $x$ из области определения выполняется

Будем пользоваться известными периодичностями:

• $\sin(u+2\pi)=\sin u$,

• $\cos(u+2\pi)=\cos u$,

• $\tg(u+\pi)=\tg u$,

• $\ctg(u+\pi)=\ctg u$.

a) $f(x)=\sin\frac{x}{2}$, $T=4\pi$

Проверим:

По периодичности синуса с периодом $2\pi$:

Значит,

то есть $T=4\pi$ — период функции.

б) $f(x)=2\tg(3x)$, $T=\frac{\pi}{3}$

Проверим:

Так как $\tg$ имеет период $\pi$,

Тогда

Следовательно, $T=\frac{\pi}{3}$ — период функции (для всех $x$, где она определена).

в) $f(x)=3\cos(4x)$, $T=\frac{\pi}{2}$

Проверим:

Так как $\cos$ имеет период $2\pi$,

Значит,

Следовательно, $T=\frac{\pi}{2}$ — период функции.

г) $f(x)=\ctg\frac{x}{3}$, $T=3\pi$

Проверим:

Так как $\ctg$ имеет период $\pi$,