Докажите, что биссектрисы двух углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, взаимно перпендикулярны.

Рассмотрим параллелограмм $ABCD$. Докажем, что биссектрисы углов, прилежащих к стороне $AB$, то есть углов $\angle A$ и $\angle B$, взаимно перпендикулярны.

Шаг 1. Обозначения

Пусть

Проведём:

• биссектрису угла $\angle A$ — луч $AE$ внутри параллелограмма,

• биссектрису угла $\angle B$ — луч $BF$ внутри параллелограмма.

То есть по определению биссектрисы:

Шаг 2. Свойство смежных углов в параллелограмме

В параллелограмме соседние (прилежащие к одной стороне) углы являются смежными, потому что $AD \parallel BC$ и прямая $AB$ пересекает эти параллельные прямые как секущая. Поэтому

Шаг 3. Угол между биссектрисами

Рассмотрим угол между лучами $AE$ и $BF$. Удобно измерять его как сумму двух углов, которые эти лучи образуют с прямой $AB$ (по разные стороны относительно направлений из $A$ и из $B$).

Луч $AE$ образует с $AB$ угол

Луч $BF$ образует с $BA$ угол

а значит с $AB$ он также «отклонён» на $\frac{\beta}{2}$, только с другого конца той же прямой.

Следовательно, угол $\varphi$ между биссектрисами равен

Подставляем $\alpha+\beta=180^\circ$:

Вывод

Угол между биссектрисами углов $\angle A$ и $\angle B$ равен $90^\circ$. Значит, биссектрисы двух углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, взаимно перпендикулярны.