Докажите, что два равнобедренных треугольника равны, если боковая сторона и угол, противолежащий основанию, одного треугольника соответственно равны боковой стороне и углу, противолежащему основанию, другого треугольника.

Пусть даны два равнобедренных треугольника $\triangle ABC$ и $\triangle A'B'C'$, где основания — $BC$ и $B'C'$ соответственно. Тогда

По условию боковая сторона одного равна боковой стороне другого (без ограничения общности возьмём)

а также равны углы, противолежащие основаниям, то есть вершины равнобедренных треугольников:

Шаг 1. Получаем равенство обеих боковых сторон.
Так как $\triangle ABC$ равнобедренный, $AB=AC$. Так как $\triangle A'B'C'$ равнобедренный, $A'B'=A'C'$. Но $AB=A'B'$ по условию, значит

Итак, мы имеем сразу

Шаг 2. Применяем признак равенства треугольников по двум сторонам и углу между ними (SAS).
В треугольнике $ABC$ угол $\angle A$ — это угол между сторонами $AB$ и $AC$.
В треугольнике $A'B'C'$ угол $\angle A'$ — это угол между сторонами $A'B'$ и $A'C'$.

Мы уже установили, что

Следовательно, по признаку $\text{(две стороны и угол между ними)}$ треугольники равны:

Итог: два равнобедренных треугольника равны, если у них соответственно равны боковая сторона и угол, противолежащий основанию (то есть вершина).