Построить график функции y = -x² - 8x + 12 и определить, на каком промежутке эта функция возрастает.

Давай разберёмся с этим шаг за шагом, как я бы сделал это на сайте с вопросами и ответами.

1. Определяем тип функции

Функция:

Это квадратичная функция $y = ax^2 + bx + c$ с $a = -1$, $b = -8$, $c = 12$.
Поскольку $a < 0$, график будет ветвями вниз (парабола «сверху»).

2. Находим вершину параболы

Координата вершины по формуле:

Подождите, проверим внимательно:

Ой, здесь стоит быть осторожным. Вычислим шаг за шагом:

Да, всё верно, вершина на $x = -4$ (проверка: да, так как $-b/(2a) = -(-8)/(2 \cdot -1) = 8 / -2 = -4$).

Теперь находим $y$-координату вершины:

Вершина: $(-4, 28)$

3. Определяем промежутки возрастания и убывания

Для квадратичной функции с $a < 0$:

• Функция возрастает слева от вершины

• Функция убывает справа от вершины

То есть:

4. Находим точки пересечения с осью $x$

Чтобы построить график, можно найти корни:

Используем формулу квадратного уравнения:

$\sqrt{112} = \sqrt{16 \cdot 7} = 4\sqrt{7}$

Корни: $x_1 = -4 - 2\sqrt{7}$, $x_2 = -4 + 2\sqrt{7}$