Найдите корень уравнения \(\log_2(x+4) = \log_2(2-x) + 2\).

Давайте решим уравнение $\log_2(x+4) = \log_2(2-x) + 2$.

Шаг 1: Преобразуем уравнение

Для начала преобразуем правую часть уравнения, используя свойства логарифмов. Помним, что $\log_2 a + b = \log_2 a + \log_2 2^b$. Это позволяет переписать $2$ как $\log_2 4$, так как $2 = 2^2$. Таким образом:

Шаг 2: Применим свойства логарифмов

Теперь, используя свойство, что $\log_2 a + \log_2 b = \log_2(ab)$, можно объединить логарифмы на правой части уравнения:

Таким образом уравнение принимает вид:

Шаг 3: Уберем логарифмы

Так как логарифмы с одинаковыми основаниями равны, если их аргументы равны, мы можем приравнять аргументы логарифмов:

Шаг 4: Решим полученное линейное уравнение

Раскроем скобки на правой стороне уравнения:

Теперь перенесем все термины с $x$ на одну сторону, а числа — на другую:

Теперь решим для $x$:

Шаг 5: Проверка решения

Теперь проверим найденное решение на предмет его корректности. Подставим $x = \frac{4}{5}$ в исходное уравнение:

Левая часть:

Правая часть:

Преобразуем 2 как $\log_2 4$, то есть:

Таким образом, левая и правая части равны, и решение $x = \frac{4}{5}$ подходит.

Ответ: $x = \frac{4}{5}$.