При каком значении параметра "а" система уравнений имеет одно решение? х² + у = а, х² + у² = 5. (Ответ с решением)

Разбираю систему через исключение $x^2$. Здесь важно не просто найти допустимые $a$, а аккуратно посчитать именно число решений.

Рассмотрим систему

Нужно найти такое значение параметра $a$, при котором система имеет ровно одно решение.

Из первого уравнения выразим $x^2$:

Подставим во второе:

Получаем квадратное уравнение относительно $y$:

Теперь важно понять: каждому найденному $y$ соответствует значение $x$, которое определяется из

Если $a-y>0$, то получаем два значения $x$: $x=\pm\sqrt{a-y}$.

Если $a-y=0$, то $x=0$, то есть только одно значение $x$.

Если $a-y<0$, то действительных $x$ нет.

Значит, чтобы вся система имела ровно одно решение, должен быть такой $y$, при котором:

• $x=0$, то есть $a-y=0$,

• и при этом других действительных решений не должно быть.

Из условия $x=0$ подставим во второе уравнение:

откуда

Так как $a-y=0$, то

Значит, возможны только два кандидата:

Проверим их.

1) $a=\sqrt5$

Тогда при $y=\sqrt5$ действительно получаем решение $(0,\sqrt5)$.

Но посмотрим, нет ли других решений. Уравнение для $y$:

Один корень $y=\sqrt5$, тогда второй по теореме Виета:

Для него

значит, есть ещё два значения $x$.

Следовательно, при $a=\sqrt5$ решений больше одного.

2) $a=-\sqrt5$

Тогда при $y=-\sqrt5$