1) При каком значении а система имеет единственное решение? 5ax + 3y = 2a - 1 3x + 2y = a + 1 2) При каком значении а система уравнений несовместна? 5x - 3ay = 3a + 1 10x + 6y = 5a + 7

Система

Чтобы у системы было единственное решение, главный критерий — чтобы коэффициенты при $x$ и $y$ образовывали матрицу с ненулевым определителем (то есть прямые не были параллельны).

Коэффициентная матрица:

Её детерминант:

Единственное решение есть тогда и только тогда, когда $\Delta \ne 0$:

Ответ к 1): система имеет единственное решение при всех значениях $a$, кроме

Система

Система несовместна, когда её прямые параллельны, но не совпадают. Это происходит, если:

1. Определитель коэффициентов равен нулю (прямые либо параллельны, либо совпадают);

2. При этом отношение свободных членов не совпадает с отношением коэффициентов (то есть прямые разные ⇒ решений нет).

Коэффициентная матрица:

Определитель:

Чтобы система могла быть либо бесконечно решаемой, либо несовместной, нужно:

Подставляем $a = -1$ в систему:

1. $5x - 3(-1)y = 5x + 3y = 3(-1) + 1 = -3 + 1 = -2$

2. $10x + 6y = 5(-1) + 7 = -5 + 7 = 2$

Получаем:

Левая часть второго уравнения — это просто удвоенная левая часть первого:

но правая часть должна тогда тоже быть $2 \cdot (-2) = -4$, а у нас она равна $2$. То есть:

— противоречие. Значит, система при $a = -1$ несовместна.

Ответ к 2): система несовместна при

Итого:

1. Единственное решение: при всех $a$, кроме $a = \dfrac{9}{10}$.

2. Несовместна: при $a = -1$.