10 человек стоят по кругу, все они разного возраста. Каждый сказал: «Я старше обоих своих соседей». а) Могло ли оказаться так, что все сказали правду? б) Могло ли оказаться так, что все солгали? в) Найдите наибольшее возможное количество человек, сказавших правду.

а) Нет, не могло.

Если человек сказал правду, то он старше каждого из двух соседей. Но два соседних человека не могут одновременно сказать правду: первый должен быть старше второго, а второй — старше первого. Это невозможно.

Следовательно, все десять человек одновременно сказать правду не могли.

б) Нет, не могло.

Рассмотрим самого старшего человека в круге. Поскольку он старше всех остальных, он обязательно старше обоих своих соседей. Значит, его утверждение истинно.

Поэтому хотя бы один человек обязательно сказал правду, и все десять солгать не могли.

в) Наибольшее возможное количество сказавших правду — 5.

Два человека, стоящие рядом, не могут оба сказать правду. Поэтому после каждого сказавшего правду должен стоять человек, сказавший неправду. В круге из 10 человек правдивых не может быть больше половины:

Покажем, что пять правдивых действительно возможны. Расставим людей так, чтобы более старшие и более младшие чередовались. Например, пусть их возраста в порядке обхода круга равны:

Тогда люди возрастов $10, 9, 8, 7, 6$ старше обоих своих соседей и говорят правду. Остальные пять человек говорят неправду.

Ответ:
а) нет;
б) нет;
в) $5$ человек.