Мистер Джонсон по случаю своего тридцатилетия открыл 1 октября 2010 года в банке счёт, на который он ежегодно кладет 6000 рублей. По условиям вклада банк ежегодно начисляет 30% на сумму, находящуюся на счёте. Через 7 лет 1 октября 2017 года октября, следуя примеру мистера Джонсона, мистер Браун по случаю своего тридцатилетия тоже открыл в банке счет, на который ежегодно кладёт по 13 800 рублей, а банк начисляет 69% в год. В каком году после очередного пополнения суммы вкладов мистера Джонсона и мистера Брауна сравняются, если деньги со счетов не снимают?

Чтобы решить эту задачу, давайте рассмотрим, как растет сумма на счетах мистера Джонсона и мистера Брауна.

1. Анализ вклада мистера Джонсона

1 октября 2010 года мистер Джонсон открыл счёт и каждый год кладёт на него 6000 рублей. Банк начисляет на сумму на счёте 30% годовых.

Обозначим сумму на счёте мистера Джонсона в конце каждого года как $S_J$ и будем учитывать ежегодные пополнения и начисления процентов.

Формула расчета суммы вклада мистера Джонсона после $n$ лет:

Каждый год после пополнения на 6000 рублей, сумма на счёте увеличивается на 30%. Таким образом, рекурсивная формула для суммы на счёте в конце каждого года (после пополнения и начисления процентов) будет следующей:

Где $S_{J_0} = 0$ на момент открытия счёта в 2010 году.

2. Анализ вклада мистера Брауна

1 октября 2017 года мистер Браун открыл счёт и кладёт на него ежегодно 13 800 рублей. Банк начисляет 69% на сумму на счёте.

Обозначим сумму на счёте мистера Брауна как $S_B$.

Формула расчета суммы вклада мистера Брауна после $n$ лет:

По аналогии с предыдущим вкладом, каждый год после пополнения на 13 800 рублей, сумма на счёте увеличивается на 69%:

Где $S_{B_0} = 0$ на момент открытия счёта в 2017 году.

3. Решение задачи

Теперь нам нужно найти такой год, когда суммы на счетах обоих вкладчиков будут равны. Для этого будем последовательно считать суммы на каждом счёте и искать момент, когда $S_J \approx S_B$.

Поскольку мистер Джонсон открыл счёт раньше, его сумма на счёте будет изначально больше. Мы будем продолжать расчёты, пока сумма на счетах не сравняется или не станет очень близкой.

Выполнив вычисления, мы можем определить, что сумма на счетах мистера Джонсона и мистера Брауна приблизительно сравняется в 2029 году после очередного пополнения