задача: Все мои соседи выращивают на своих участках цветы: только розы выращивают 16 человек, только лилии 17 человек, только гладиолусы 20 человек. Розы и гладиолусы есть у 11 соседей, розы и лилии у 9, лилии и гладиолусы у 10 соседей. Все три вида цветов выращивают 8 соседей. Сколько у меня соседей по даче?

Для решения этой задачи удобно использовать формулы и методы комбинаторики, в частности формулу включения-исключения.

Обозначения

• Пусть $R$ — множество соседей, которые выращивают розы.
• $L$ — множество соседей, которые выращивают лилии.
• $G$ — множество соседей, которые выращивают гладиолусы.

Данные задачи

• Только розы выращивают $|R \setminus (L \cup G)| = 16$ человек.
• Только лилии выращивают $|L \setminus (R \cup G)| = 17$ человек.
• Только гладиолусы выращивают $|G \setminus (R \cup L)| = 20$ человек.
• Розы и гладиолусы выращивают $|R \cap G| = 11$ человек.
• Розы и лилии выращивают $|R \cap L| = 9$ человек.
• Лилии и гладиолусы выращивают $|L \cap G| = 10$ человек.
• Все три вида цветов (розы, лилии и гладиолусы) выращивают $|R \cap L \cap G| = 8$ человек.

Формула включения-исключения

Общее количество соседей, выращивающих цветы, можно найти, используя формулу включения-исключения для трёх множеств:

Шаг 1: Находим полные множества $|R|$, $|L|$, $|G|$

1. Общее количество соседей, выращивающих розы $|R|$:

   $$|R| = |R \setminus (L \cup G)| + |R \cap L| + |R \cap G| - |R \cap L \cap G|$$ $$|R| = 16 + 9 + 11 - 8 = 28$$

2. Общее количество соседей, выращивающих лилии $|L|$:

   $$|L| = |L \setminus (R \cup G)| + |R \cap L| + |L \cap G| - |R \cap L \cap G|$$ $$|L| = 17 + 9 + 10 - 8 = 28$$

3. Общее количество соседей, выращивающих гладиолусы $|G|$:

   $$|G| = |G \setminus (R \cup L)| + |R \cap G| + |L \cap G| - |R \cap L \cap G|$$ $$|G| = 20 + 11 + 10 - 8 = 33$$

Шаг 2: Подставляем значения в формулу включения-исключения

Теперь подставим все найденные значения в формулу:

Ответ

У вас 67 соседей, которые выращивают цветы на своих участках.