6×4^x - 13×6^x + 6×9^x = 0

Давай разберём уравнение шаг за шагом, как это сделал бы я, решая его сам. У нас есть:

Шаг 1: Переписываем все основания через простые числа

• $4^x = (2^2)^x = 2^{2x}$

• $6^x = (2 \cdot 3)^x = 2^x \cdot 3^x$

• $9^x = (3^2)^x = 3^{2x}$

Подставляем:

Шаг 2: Вводим замену

Пусть:

Тогда уравнение примет вид:

Или:

Шаг 3: Делим всё на $b^2$, чтобы сделать квадратное уравнение относительно $\frac{a}{b}$

Пусть $y = \frac{a}{b} = \frac{2^x}{3^x} = \left(\frac{2}{3}\right)^x$. Тогда получаем квадратное уравнение:

Шаг 4: Решаем квадратное уравнение

Дискриминант:

Корни:

1. $\displaystyle y_1 = \frac{13 + 5}{12} = \frac{18}{12} = \frac{3}{2}$

2. $\displaystyle y_2 = \frac{13 - 5}{12} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3}$

Шаг 5: Возвращаемся к $x$

Напомним, что $y = \left(\frac{2}{3}\right)^x$. Тогда: