1) Клапаны, изготовляемые в цехе, проверяются двумя контролёрами. Вероятность того, что клапан попадает на проверку первому контролёру, равна 0,6, а ко второму — 0,4. Вероятность того, что годный клапан будет забракован, для первого контролёра равна 0,06, а для второго — 0,02. Наудачу взятый после проверки годный клапан забракован. Найдите вероятность того, что его проверял второй контролёр. 2) При установившемся технологическом процессе происходит 10 обрывов нити на 100 веретён в час. Рассматривается 500 веретён. Найдите: а) наивероятнейшее число обрывов нити в час; б) вероятность того, что произойдёт 300 обрывов нити в час; в) вероятность того, что произойдёт от 200 до 400 обрывов нити в час.

1) Обозначим: \(K_1\) — клапан проверял первый контролёр, \(K_2\) — второй, \(B\) — годный клапан забракован.

По формуле Байеса:

\[ P(K_2\mid B)=\frac{P(K_2)P(B\mid K_2)}{P(K_1)P(B\mid K_1)+P(K_2)P(B\mid K_2)} \]

Подставим данные:

\[ P(K_2\mid B)=\frac{0{,}4\cdot0{,}02}{0{,}6\cdot0{,}06+0{,}4\cdot0{,}02}=\frac{0{,}008}{0{,}044}=\frac{2}{11}\approx0{,}182. \]

Ответ: \(\frac{2}{11}\), или примерно \(18{,}2\%\).

2) В среднем происходит 10 обрывов на 100 веретён в час. Для 500 веретён среднее число обрывов:

\[ \lambda=10\cdot\frac{500}{100}=50. \]

Число обрывов можно считать распределённым по закону Пуассона:

\[ P(X=k)=\frac{e^{-\lambda}\lambda^k}{k!}. \]

а) Если \(\lambda=50\), то наивероятнейшие числа для распределения Пуассона: \(49\) и \(50\).

б) Вероятность 300 обрывов:

\[ P(X=300)=\frac{e^{-50}50^{300}}{300!}. \]

Это чрезвычайно малая вероятность.

в) Вероятность от 200 до 400 обрывов:

\[ P(200\le X\le400)=\sum_{k=200}^{400}\frac{e^{-50}50^k}{k!}. \]

Эта вероятность тоже практически равна нулю, потому что 200–400 обрывов намного больше среднего значения \(50\).

0 0 Пожаловаться