Помогите найти обратное по модулю число. Ответ я знаю,но не могу сам прийти к нему. Распишите,пожалуйста,подробное,пошаговое решение.
Число 11. Модуль-400

Нужно найти число, обратное к \(11\) по модулю \(400\). Это значит найти такое целое число \(x\), что:

\[11x \equiv 1 \pmod{400}\]

То есть произведение \(11x\) при делении на \(400\) должно давать остаток \(1\).

Используем расширенный алгоритм Евклида. Сначала найдём НОД чисел \(400\) и \(11\):

\[400 = 11 \cdot 36 + 4\]

\[11 = 4 \cdot 2 + 3\]

\[4 = 3 \cdot 1 + 1\]

\[3 = 1 \cdot 3 + 0\]

НОД равен \(1\), значит обратное число существует.

Теперь идём обратно:

\[1 = 4 - 3 \cdot 1\]

Но \(3 = 11 - 4 \cdot 2\), значит:

\[1 = 4 - (11 - 4 \cdot 2)\]

\[1 = 4 \cdot 3 - 11\]

А \(4 = 400 - 11 \cdot 36\), значит:

\[1 = (400 - 11 \cdot 36) \cdot 3 - 11\]

\[1 = 400 \cdot 3 - 11 \cdot 108 - 11\]

\[1 = 400 \cdot 3 - 11 \cdot 109\]

Получили:

\[1 = 400 \cdot 3 + 11 \cdot (-109)\]

Значит, \(x = -109\). Но обычно берут положительный остаток по модулю \(400\):

\[-109 + 400 = 291\]

Ответ: обратное число к \(11\) по модулю \(400\) равно \(291\).

Проверка:

\[11 \cdot 291 = 3201\]

\[3201 = 400 \cdot 8 + 1\]

Остаток действительно равен \(1\), значит ответ верный.

0 0 Пожаловаться