Вычислить:
1. sin2α, если cosα = 3/5 и 0 < α < π/2;
2. cos2α, если sinα = -4/5 и π < α < 3π/2;
3. sin(α/2), cos(α/2), tg(α/2), если cosα = 0,8 и 0 < α < π/2;

1. \( \sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha \). Так как \( \cos \alpha = \frac{3}{5} \) и \( 0 < \alpha < \frac{\pi}{2} \), то \( \sin \alpha = \sqrt{1 - \cos^2 \alpha} = \sqrt{1 - \frac{9}{25}} = \frac{4}{5} \). Тогда \( \sin 2\alpha = 2 \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{3}{5} = \frac{24}{25} \).

2. \( \cos 2\alpha = 1 - 2 \sin^2 \alpha \). Дано \( \sin \alpha = -\frac{4}{5} \), \( \pi < \alpha < \frac{3\pi}{2} \) (III четверть). Тогда \( \cos 2\alpha = 1 - 2 \left( -\frac{4}{5} \right)^2 = 1 - 2 \cdot \frac{16}{25} = 1 - \frac{32}{25} = -\frac{7}{25} \).

3. \( \cos \alpha = 0{,}8 = \frac{4}{5} \), \( 0 < \alpha < \frac{\pi}{2} \), значит \( \frac{\alpha}{2} \) в I четверти, все значения положительны. По формулам половинного угла:
\( \sin \frac{\alpha}{2} = \sqrt{\frac{1 - \cos \alpha}{2}} = \sqrt{\frac{1 - \frac{4}{5}}{2}} = \sqrt{\frac{1}{10}} = \frac{1}{\sqrt{10}} = \frac{\sqrt{10}}{10} \);
\( \cos \frac{\alpha}{2} = \sqrt{\frac{1 + \cos \alpha}{2}} = \sqrt{\frac{1 + \frac{4}{5}}{2}} = \sqrt{\frac{9}{10}} = \frac{3}{\sqrt{10}} = \frac{3\sqrt{10}}{10} \);
\( \operatorname{tg} \frac{\alpha}{2} = \frac{\sin \frac{\alpha}{2}}{\cos \frac{\alpha}{2}} = \frac{1}{3} \).

0 0 Пожаловаться