Докажите тождество 1) ctgα/tgα+1=1/sin²α 2) ctg²α -cos²α=ctg²α*cos²α

1) Доказательство тождества: $\frac{\cot \alpha}{\tan \alpha + 1} = \frac{1}{\sin^2 \alpha}$

Для доказательства начнём с представления котангенса и тангенса через синус и косинус:

Подставим эти выражения в левую часть тождества:

Приведём дроби в знаменателе:

Теперь подставим это в исходное выражение:

Упростим это:

Теперь, чтобы получить правую часть тождества $\frac{1}{\sin^2 \alpha}$, заметим, что выражение $\frac{\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha}$ фактически является частным $\cot^2 \alpha$. Однако для этого потребуется сложный анализ на применение формул для котангенса и тангенса, и прямое доказательство тождества.

2) Доказательство тождества: $\cot^2 \alpha - \cos^2 \alpha = \cot^2 \alpha \cdot \cos^2 \alpha$

Начнём с того, что $\cot \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}$, следовательно, $\cot^2 \alpha = \frac{\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha}$.

Подставим это в левую часть тождества:

Приведём к общему знаменателю:

Вынесем $\cos^2 \alpha$ за скобки:

Используем основное тригонометрическое тождество $1 - \sin^2 \alpha = \cos^2 \alpha$