Докажите, что унитарные матрицы образуют группу.

Множество унитарных матриц порядка \(n\) с операцией умножения образует группу. Проверим аксиомы:

• Замкнутость: если \(U\) и \(V\) унитарны, то \((UV)^* = V^*U^*\), и \((UV)^*(UV) = V^*(U^*U)V = V^*IV = V^*V = I\), значит \(UV\) унитарна.
• Ассоциативность умножения матриц выполняется всегда.
• Нейтральный элемент: единичная матрица \(I\) унитарна, так как \(I^* = I\) и \(I^*I = I\).
• Обратный элемент: для унитарной \(U\) обратной является \(U^*\), причём \(U^*\) унитарна: \((U^*)^*U^* = UU^* = I\) (так как из \(U^*U = I\) следует \(UU^* = I\)).

Все аксиомы выполнены, следовательно, унитарные матрицы образуют группу.

0 0 Пожаловаться