1. Докажите, что значение выражения: а) \(2^8 + 4^5 - 8^2\) делится на 38 б) \(3^{11} + 9^6 + 27^3\) делится на 111 2. Докажите, что \(a\) делится на \(b\), если: \(a = 9^7 + 9^6 + 9^5\), \(b = 3^{10} - 3^9 + 3^8\)

Задача 1:

a) $2^8 + 4^5 - 8^2$ делится на 38

Начнём с выражения $2^8 + 4^5 - 8^2$. Для упрощения перепишем его в терминах степени двойки:

1. $2^8 = 256$

2. $4^5 = (2^2)^5 = 2^{10} = 1024$

3. $8^2 = (2^3)^2 = 2^6 = 64$

Теперь подставим эти значения в исходное выражение:

Нужно проверить, делится ли 1216 на 38. Для этого произведём деление:

Так как результат деления — целое число, то выражение действительно делится на 38.

б) $3^{11} + 9^6 + 27^3$ делится на 111

Давайте упростим выражение:

1. $9^6 = (3^2)^6 = 3^{12}$

2. $27^3 = (3^3)^3 = 3^9$

Теперь подставим эти значения:

Для удобства вынесем общий множитель $3^9$:

Посчитаем выражение в скобках:

Таким образом, выражение становится:

Теперь проверим, делится ли это на 111. Разложим 111 на множители:

Мы видим, что выражение $3^9 \times 37$ делится на 111, так как оно включает оба множителя $3$ и $37$.

Задача 2:

Докажите, что $a$ делится на $b$, где $a = 9^7 + 9^6 + 9^5$, $b = 3^{10} - 3^9 + 3^8$

Начнём с выражения для $a$:

Заметим, что $9 = 3^2$, поэтому можем выразить $a$ через степени тройки:

Вынесем общий множитель $3^{10}$:

Теперь рассмотрим $b$: