Упражнения A Найдите неопределенный интеграл (2.1.-2.4.): 2.1. 1) x (1 + x)'dx; . 2.2. 1)/cos√x √x dx; 2.3. 1) x cosxdx; 2) √(x - 3)5xdx. 2) √5 sin √x √x dx. 2) (2x · sinxdx. 2.4. 1) x cos2xdx; 2) Sx sin3xdx.

СРОЧНО , ПОЖАЛУЙСТА . ДАЮ МНОГО БАЛЛОВ​

2.1.
1) \(\int x(1+x)\,dx = \int (x + x^2)\,dx = \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} + C\).
2) \(\int 5x\sqrt{x-3}\,dx\). Подстановка \(t = x-3\), \(x = t+3\), \(dx = dt\): \(\int 5(t+3)\sqrt{t}\,dt = 5\int (t^{3/2} + 3t^{1/2})\,dt = 5\left(\frac{2}{5}t^{5/2} + 3\cdot\frac{2}{3}t^{3/2}\right) + C = 2t^{5/2} + 10t^{3/2} + C = 2(x-3)^{5/2} + 10(x-3)^{3/2} + C\).

2.2.
1) \(\int \frac{\cos\sqrt{x}}{\sqrt{x}}\,dx\). Подстановка \(u = \sqrt{x}\), \(du = \frac{1}{2\sqrt{x}}dx\), тогда \(dx = 2u\,du\): \(\int \frac{\cos u}{u} \cdot 2u\,du = 2\int \cos u\,du = 2\sin u + C = 2\sin\sqrt{x} + C\).
2) \(\int \sqrt{5} \sin\sqrt{x} \cdot \sqrt{x}\,dx = \sqrt{5}\int \sqrt{x}\sin\sqrt{x}\,dx\). Подстановка \(u = \sqrt{x}\), \(x = u^2\), \(dx = 2u\,du\): \(\sqrt{5}\int u \sin u \cdot 2u\,du = 2\sqrt{5}\int u^2 \sin u\,du\). Интегрируем по частям: \(\int u^2 \sin u\,du = -u^2\cos u + 2u\sin u + 2\cos u + C\). Тогда ответ: \(2\sqrt{5}(-x\cos\sqrt{x} + 2\sqrt{x}\sin\sqrt{x} + 2\cos\sqrt{x}) + C\).

2.3.
1) \(\int x\cos x\,dx = x\sin x + \cos x + C\) (по частям: \(u=x\), \(dv=\cos x\,dx\)).
2) \(\int 2x\sin x\,dx = -2x\cos x + 2\sin x + C\) (по частям: \(u=2x\), \(dv=\sin x\,dx\)).

2.4.
1) \(\int x\cos 2x\,dx = \frac{x}{2}\sin 2x + \frac{1}{4}\cos 2x + C\) (по частям: \(u=x\), \(dv=\cos 2x\,dx\)).
2) \(\int x\sin 3x\,dx = -\frac{x}{3}\cos 3x + \frac{1}{9}\sin 3x + C\) (по частям: \(u=x\), \(dv=\sin 3x\,dx\)).

0 0 Пожаловаться