Характеристические многочлены вещественных матриц размера 2×2 A и B совпадают. Но нет оператора, который в каком-то базисе записывается матрицей A, а в каком-то — матрицей B. След матрицы A равен 10. Чему равен определитель матрицы B?

Для матрицы размера \(2\times2\) характеристический многочлен имеет вид:

\[p(\lambda)=\lambda^2-\operatorname{tr}(A)\lambda+\det A\]

Если характеристические многочлены матриц \(A\) и \(B\) совпадают, то у них одинаковые следы и определители.

Но сказано, что матрицы не являются матрицами одного и того же оператора в разных базисах, то есть они не подобны. Для матриц \(2\times2\) с одинаковым характеристическим многочленом такое возможно только при кратном собственном значении.

След матрицы \(A\) равен \(10\), значит кратное собственное значение равно:

\[\lambda=\frac{10}{2}=5\]

Тогда определитель равен произведению собственных значений:

\[\det B=5\cdot5=25\]

Ответ: \(25\).

0 0 Пожаловаться