У гражданина Петрова 1 августа 2000 года родился сын. По этому случаю он открыл в некотором банке

Ответы на вопрос

Отвечает Подмарёв Иван.

Давай разберём задачу шаг за шагом, чтобы понять, когда суммы на двух вкладах сравняются.

Вклад сына:
- Начало: 1 августа 2000 года – 1000 руб.
- Пополнение: каждый год 1 августа +1000 руб.
- Начисление процентов: 20% ежегодно, 31 июля.
- Проценты начисляются на всю сумму на счёте на момент начисления.
Вклад дочери:
- Начало: 1 августа 2006 года (через 6 лет после рождения сына) – 2200 руб.
- Пополнение: каждый год 1 августа +2200 руб.
- Начисление процентов: 44% ежегодно, 31 июля.
Цель: определить, через сколько лет после рождения сына суммы сравняются.

Обозначим:

$S_n$ — сумма на вкладе через n лет после открытия.
Начисление процентов 20% происходит до пополнения нового года, поэтому на счёт вносим проценты, а затем пополняем 1000 руб.

Если считать ежегодно по 1 августа (после пополнения), можно записать рекуррентно:

S_0 = 1000

S_1 = (S_0 \cdot 1.2) + 1000

S_2 = (S_1 \cdot 1.2) + 1000

И так далее.

Общая формула для аннуитета с процентами:

S_n = 1000 \cdot \frac{1.2^n - 1}{1.2 - 1} \cdot 1

Проверка: это стандартная формула для ежегодного пополнения с начислением процентов в конце периода (проценты на весь капитал):

S_n = 1000 \cdot \frac{1.2^n - 1}{0.2} = 5000 \cdot (1.2^n - 1)

Вклад открывается через 6 лет после начала первого, то есть в момент $n = 6$ (по счёту лет от рождения сына).

Обозначим:

Рекуррентно:

T_0 = 2200

T_{m+1} = (T_m \cdot 1.44) + 2200

Формула для суммы с ежегодным пополнением и процентами (аннуитет):

T_m = 2200 \cdot \frac{1.44^m - 1}{0.44} = 5000 \cdot (1.44^m - 1)

Суммы равны тогда, когда:

S_n = T_{n-6}

Подставляем формулы:

5000 \cdot (1.2^n - 1) = 5000 \cdot (1.44^{n-6} - 1)

Делим обе части на 5000:

1.2^n - 1 = 1.44^{n-6} - 1

1.2^n = 1.44^{n-6}

Заметим, что $1.44 = 1.2^2$ . Тогда:

1.2^n = (1.2^2)^{n-6} = 1.2^{2(n-6)}

1.2^n = 1.2^{2n - 12}

Поскольку основания одинаковые:

n = 2n - 12

12 = n

Проверка: всё совпадает с расчетами.

Суммы на вкладах сравняются через 12 лет после рождения сына.

То есть в 2012 году.

Ответы на вопрос