На рисунке изображён график функции y = f′(x) на интервале (−2; 9). Найдите точку отрезка [−1; 3], в которой функция y = f(x) принимает наименьшее значение.

Чтобы найти точку, в которой функция $f(x)$ принимает наименьшее значение на отрезке $[-1; 3]$, нужно использовать график производной $y = f'(x)$.

1. Основная идея

Функция $f(x)$:

• убывает там, где $f'(x) < 0$;

• возрастает там, где $f'(x) > 0$.

Значит, минимум $f(x)$ на отрезке может быть:

• в точках, где $f'(x)=0$ и меняет знак с «−» на «+»;

• либо на концах отрезка $-1$ или $3$.

2. Как действовать по графику $f'(x)$

На отрезке $[-1;3]$ нужно:

1. посмотреть, где график $f'(x)$ расположен ниже оси $Ox$ (это убывание $f$);

2. найти точки пересечения с осью $Ox$ (где $f'(x)=0$);

3. определить, где происходит переход:

   $$f'(x):\; отрицательное \rightarrow положительное$$

   — именно там $f(x)$ имеет минимум.

3. Вывод

Минимум функции $f(x)$ на $[-1;3]$ достигается в той точке этого отрезка, где на графике $f'(x)$ происходит переход от отрицательных значений к положительным (пересечение оси $Ox$ снизу вверх).
Если такого перехода внутри отрезка нет, то минимум будет на том конце отрезка $[-1;3]$, где $f(x)$ меньше по сравнению с другим концом (это определяется знаком $f'(x)$ на всём отрезке).